División

Se define como la operación inversa a la multiplicación, en la cual se busca uno de los factores conociendo el otro factor y el producto.

• El cociente de dos enteros de igual signo es un entero positivo.
• El cociente de dos enteros de diferente signo es negativo.

Ejemplos:

Veamos la división de algunos números enteros teniendo en cuenta las condiciones anteriormente citadas y las leyes de los signos:

(+24)/(+8) = +3 ya que ambos números tienen el mismo signo.
(-24)/ (-8) = +3 ya que ambos números tienen el mismo signo.
(+24)/ (-8) = -3 ya que ambos números tienen distinto signo.
(-24)· (+8) = -3 ya que ambos números tienen el distinto signo.

Polinomios Aritméticos

Un polinomio aritmético es una expresión formada por adiciones y sustracciones de números enteros.

• Resolviendo paréntesis

Para resolver polinomios aritméticos con diferentes signos de agrupación se comienza resolviendo los paréntesis más internos y siguiendo en orden hacia afuera.

Cuando se usan signos de agrupación se quiere indicar que las cantidades que encierran representan un solo término; se utilizan tres clases de signos de agrupación, los cuales tienen el mismo significado y uso:  

• Llaves: {....}                   
• Corchetesangulares: [.....]                   
• Paréntesis:(...)
• 
  

• La ley de los signos

Signos antes de paréntesis                        
Orden para desarrollar los signos de
agrupación

+a(a+b-c) = a+b-c         {[(   )]}

-(a-b+c) = -a+b-c                   
Partiendo del signo interno de agrupación hasta llegar al externo

Se debe tener en cuenta cuando se trabaja con signos lo siguiente:
 
Cuando el paréntesis va precedido del signo +, se suprime el paréntesis dejando las adiciones del interior con su signo.

Cuando el paréntesis va precedido del signo -, se aplica el concepto de multiplicación, suprimiendo el paréntesis y cambiando los términos del interior del paréntesis por sus inversos.

Ejemplo
(+3) + (-5) + (-4) - (-2) se escribe 3 - 5 - 4 + 2.
-2 + {3 -[4+2-1]} se escribe -2 + {3 -4 -2 +1} = -2 +3 -4 -2 +1

• Múltiplos y divisores en z

El concepto de múltiplo de un número natural se amplía tomando la unión de los múltiplos del número con el de los opuestos en Z.

Un número entero a es múltiplo de otro número entero b si existe un número entero n tal que a= b. n.

Un número entero a es divisor de otro número entero b si existe un número entero n tal que a= b ¸ n.

Si p es un número primo, sus divisores son 1, -1, p y -p.

Para saber si un número es primo basta con dividirlo entre los números primos menores que este, hasta encontrar un cociente menor que el divisor. Si ninguna división es exacta, el número dado es primo.
 

• Máximo Común Divisor

Los divisores comunes de dos o más números enteros se encuentran en la intersección de los conjuntos de divisores de cada uno de los números.

El mayor de los divisores comunes de dos o más números enteros recibe el nombre de máximo común divisor, y se nota:
Mcd (a, b,) = d para a,b.  Î Z

Ejemplo:

Encontrar el mcd entre -6 y 4.
Los divisores de -6 son {-6,-3,-2,-1, 1, 2, 3,6}
Los divisores de 4 son {-4,-2,-1, 1, 2,4}
La intersección de los conjuntos es {-2, -1, 1,2} luego el mcd = 2.

Los múltiplos comunes de dos o más números enteros se encuentran en la intersección de los conjuntos de múltiplos de cada uno de los números.
El menor de los múltiplos comunes de dos o más números  enteros recibe el nombre de mínimo común múltiplo, y se nota:mcm (a, b,...) = m para a, b, ...mÎ Z.

Ejemplo:
Encontrar el mcm entre -6 y 4.
Los múltiplos de -6 son {...-12,-6, 6, 12, 18, 24, 30,36,...}
Los divisores de 4 son {...-8,-4, 4, 8, 12,16,...}
La intersección de los dos conjuntos es {0,12,..} luego el mcm =12.